Попытка создания математической модели работы вестибулярного анализатора.

Патология антигравитационного тонуса, которая имеет место при вертикальном положении тела, у больного ДЦП, во многом определяется расстройством функции вестибулярного аппарата.[2;3]

Вестибулярный аппарат — сложный рецептор вестибулярного анализатора, осуществляющий восприятие и анализ информации о положении и движении тела в пространстве.

Окончательное ее развитие завершается к 10 - 12, а то и к 15 годам. Вестибулярный аппарат, надо признаться, все еще недостаточно хорошо изучен специалистами, необыкновенно чутко реагирует на гравитационное поле Земли, силу земного притяжения. С физиологической точки зрения этот аппарат - часть сложнейшего механизма, позволяющего нам ориентироваться в любом трехмерном, даже в безопорном пространстве, а также поддерживать равновесие тела. Благодаря нему и с закрытыми глазами человек может достаточно точно определить свое местонахождение. Он представлен рецепторами, восходящими и нисходящими рефлекторными путями, промежуточными центрами и корковым представительством. Поступающие в центральную нервную систему импульсы от вестибуло - и проприорецепторов стимулируют возникновение вестибуло-моторных (тонических) импульсов. Разрушение полукружных каналов и преддверия вызывает потерю чувства равновесия. Голубь после разрушения лабиринтов не может летать. Если у морской свинки путем закапывания в ухо хлороформа выключить с одной стороны лабиринт, она начинает кататься по столу, вращаясь вокруг продольной оси тела.[1]

Структурная основа вестибулярного аппарата — комплекс скоплений реснитчатых клеток внутреннего уха, эндолимфы Вестибулярный, включенных в неё известковых образований — отолитов и желеобразных купул в ампулах полукружных каналов. Из рецепторов равновесия поступают сигналы двух типов: статические (связанные с положением тела) и динамические (связанные с ускорением). И те и другие сигналы возникают при механическом раздражении чувствительных волосков смещением либо отолитов (или купул), либо эндолимфы. Обычно отолит имеет большую плотность, чем окружающая его эндолимфа, и поддерживается чувствительными волосками.

При изменении положения тела изменяется направление силы, действующей со стороны отолита на чувствительные волоски. Исследования на рыбах показали, что эффективной раздражающей силой, действующей на чувствительный эпителий, служит составляющая, направленная параллельно поверхности эпителия (так называемое срезывающее усилие). Вероятно, такова причина раздражения волосковых клеток и у других позвоночных. Раздражающим воздействием для полукружных каналов служит ускорение движения всего тела или головы, действующее в плоскости каждого канала.[1]

Вследствие разной инерции эндолимфы и купулы при ускорении происходит смещение купулы, а сопротивление трения в тонких каналах служит демпфером (глушителем) всей системы. Овальный мешочек (утрикулюс) играет ведущую роль в восприятии положения тела и, вероятно, участвует в ощущении вращения. Круглый мешочек (саккулюс) дополняет овальный и, по-видимому, необходим для восприятия вибраций.

Попробуем, пусть и упрощенно и с некоторыми оговорками, построить математическую модель работы вестибулярного анализатора:
Итак, наша математическая модель: система, представленная как взаимоотношение эндолимфы и взвешенных в ней отолитов. Расположение данной системы, можно представить как сфера, так как 3 полукружных соединяющихся каналов умозрительно выполняют пространство полусферы, а шесть степеней свободы (три на поступательное и три на вращательное движение), позволяет нам рассматривать данную модель в сфере. Также, обязательно в системе существует демпфер, который позволяет работать сфере на незначительное расширение и сжатие. Сразу оговоримся (с целью упрощения модели), что отолиты рассматриваем как одинаковые объекты между собой, имеющих четкие физические критерии: суммарная масса, плотность и обьем.

В этом случае кинематика при поступательном движении будет описана следующим образом: и для всех осей.

При равноускоренном вращательном движении ( ): и (тангенциальное ускорение пока =0 - составляющая ускорения материальной точки, движущейся криволинейно, направленная по касательной к ее траектории). Это же может касаться и системы отолитов и каждого отдельного отолита в жидкости (как относительно внешней оси вращения, так и вращение отолитов в жидкости – R_отолит < R_сф.).

Динамика и Статическое состояние, и поступательное движение системы вестибулярного анализатора, можно выразить как влияние на систему силы тяжести P=mg, с кинетической энергией для всей системы, или для системы отолитов .

Равноускоренное и не равноускоренное движение можно рассматривать в каждом конкретном случае действующих сил (F=ma, момент силы M=Fd).

Кинетическую энергию вращательного движения берем , моменты импульсов: . Момент инерции сферы , движение отолита в сфере I_i=m_iR_i2 , системы отолитов - . – данная формула, к сожалению поверхностная и не учитывает соотношение плотностей отолита и эндолимфы. И тем более не учитывает вязкость системы. Таким образом, я предлагаю рассматривать состояние и движение описываемой системы в поле силы тяжести как простую (без описания векторов и скаляров).

Мы вправе допустить, что в системе отсутствует турбулентное течение, тогда можно описать течение жидкости уравнениями неразрывности и Бернулли для идеальной жидкости: и идеальной жидкости: и полное давление как сумма статического давления и динамического напора.

В данном красивом описании не учитывается вязкость (это вопрос некоторого будущего). А ведь именно здесь можно проследить очевидную связь изменения температуры и состоянием системы. Говоря иначе, при повышении температуры тела, снижается вязкость эндолимфы, что обязательно влияет на перемещение отолитов и общее их перемешивание. Я не исключаю, что этот фактор является основным при появлении вестибулопатических реакций (головокружение, тошнота, слабость и т.д.) у больных, страдающих повышением температуры. Так же можно предположить, что при определенных обстоятельствах, может возникать турбулентное течение эндолимфы, что в свою очередь может приводить к кратковременным вестибулопатическим реакциям (укачивает в транспорте), или длительным и даже хроническим (профессиональные заболевания у людей, работа которых связана с вибрацией).

Итак, объем системы (допускаем, что это сфера, малорастяжимая). Пока рассматриваем только жидкость, занимающую весь объем, хотя в дальнейшем, по-моему, важно будет учесть отношения масс, объемов, плотностей и т.д. отолитов и эндолимфы.

Линейная зависимость объема и плотности от температуры, при условии малой растяжимости сферы, будет выглядеть: и => - коэффициент объемного расширения и ρ₀-плотность при ΔT=0 при 273К. Значит, при повышении температуры системы повышается давление в системе, и понижаются плотность и вязкость. Если учтем, что отолиты – вещество твёрдое, вышеизложенное в приближении справедливо и для всей системы вестибулярного анализатора. Допустим, что отолиты малы по сравнению со сферой и равны между собой, объем системы вестибулярного анализатора будет выглядеть как .

Их формой и размерами пренебрегаем – тогда в случае, если их плотность приблизительно равна плотности жидкости в нормальных условиях (они равновесно расположены в жидкости) – тогда на систему отолитов в жидкости повышение температуры жидкости должно повлиять значительно: движение кристаллов определяется вынуждающей силой и силами Архимеда и тяготения (последние в приближении уравновешиваются: .

Но при повышении температуры плотность жидкости понижается, уменьшается сила Архимеда, преобладает сила тяжести кристаллов, в таком случае, отолиты способны постепенно оседать, – т.е. с ростом температуры понижается количество отолитов «на плаву». Хотя всё это имеет смысл и место только из допущения, что жидкость и кристаллы близки по плотности, т.е. (по крайней мере, это утверждение очень логично). Ибо при значительном расхождении значений этих сил мобильность, плавучесть отолитов сильно бы страдала, а именно этот критерии, несомненно, является основным фактором качественной работы вестибулярного анализатора.

И ещё: при вышеизложенных допущениях (отолиты малы, их много, небольшая по сравнению с жидкостью плотность) возможно, трактовать систему вестибулярного анализатора, как еще одну жидкость/газ и характеризовать процесс диффузии такой жидкости при движении всей системы, а это уже краевая задача (для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде; эллиптического типа):
а) Уравнение диффузии в покоящейся среде есть , где u(x, y, z) – концентрация в точке (есть или нет отолита в нашем случае).
б) Если среда движется со скоростью v=(v_x,v_y,v_z), причем div(v) = 0, то уравнение диффузии принимает вид , где D – коэффициент диффузии, v_x,v_y,v_z – проекции скорости v на координатные оси.

Если v_x = v, ,v_y= v_z = 0, то уравнение принимает вид или (уравнение газовой атаки).

Диффузионный поток вещества при неравномерном распределении концентрации равен Q = -Dgrad(u).

Кроме диффузионного потока надо учесть поток переноса (трансляционный поток), равный uv, так что суммарный поток равен -Dgrad(u)+uv.

Для вывода уравнений (а) и (б) следует воспользоваться законом сохранения вещества для произвольного объема и затем применить формулу Остроградского.

Закон сохранения вещества для неподвижной поверхности Σ запишется так: или откуда ввиду произвольности объема T, а также условия div(v)= 0 и следует уравнение (б). Мне кажется, его решения и опишут в большинстве состояние (положение) отолитов в эндолимфе, если не брать во внимание сопротивление ворсинок и вязкость эндолимфы.

Рис. Строение уха[12]

1. 1. Белоусова Е.Д., Никанорова М.Ю., Малиновская О.Н. Медикаментозное лечение спастичности у детей. Альманах «Исцеление», выпуск 5, М.2001, с.39
2. 2. Лебедев В.Н. О роли нарушений функции вестибулярного аппарата в патогенезе и клинике ДЦП.//Материалы 1-й Республиканской научной конференции: Детский церебральный паралич. – Л., -1974.
3. 3. Семенова К.А., Махмудова И.М. Медицинская реабилитация и социальная адаптация больных детским церебральным параличом. – Ташкент: Медицина, 1979.
4. 4. Курашвили А.Е., Бабияк В.И. Физиологические функции вестибулярной системы. – Л., 1975.